前言

数学是个十分广阔、不断发展变化的学科。在数学家提出的众多问题中，有些问题脱颖而出，成为连绵山峦中的突兀山峰。这些是真正的大问题，数学家看到这些困难且具挑战性问题的价值，于是竭尽全力地去尝试解决。它们困扰着数学家，有的持续了几十年、几百年、几千年，有的甚至至今都没能被征服。在350年的岁月里，费马大定理（Fermats last theorem）一直是个谜，最终是怀尔斯（Andrew Wiles）经过 7 年的努力才将它解决。庞加莱猜想（Poincaré conjecture）从提出到最终解决足足有一个多世纪，最后被古怪天才佩雷尔曼（Grigori Perelman）解决。佩雷尔曼拒绝了所有的学术荣誉和100万美元的奖金。黎曼猜想（Riemann hypothesis）困扰全世界数学家150年了，仍然没有解决。

《伟大的数学问题》这本书讨论的就是精选出来的真正伟大的问题，它们推动着数学事业朝着全新的方向发展。在本书中，我们讲述了它们的起源，解释了它们为何重要，并将它们置于整个数学和科学的大背景下进行讨论。这本书既包括了一些已经解决的问题，也包括一些尚未解决的问题，其范围跨越2000多年的数学发展史，但本书的主要关注点是那些至今仍然悬而未决的问题和那些在过去50年内才被解决的问题。

数学的一个基本目标是揭示那些看似复杂的问题背后的简单规律。然而，这可能并不总是显而易见的，因为数学家所谓的“简单”概念依赖于许多专业、难懂的概念。本书的一个重要特点是，强调这种深层的简单规律，并尽量避免复杂化，或者尽可能少地直接使用专业词汇进行解释。

如今的数学比我们大多数人想象的更新、更多样化。粗略估计，世界上研究型的数学家约有10万人，他们每年产出超过200万页的新数学内容。它们不是“新的数”，因为新数不是数学事业的真正所在；它们也不是现有的数学加在一起得到的“新总和”，而是更庞大的事物，尽管我们确实会去计算一些相当大的和。一个由约25名数学家组成的团队最近完成了一项代数方面的工作，它被描述为“曼哈顿级的计算”（a calculation the size of Manhattan）。这并不完全准确，而是过于保守了。光答案部分的纸张面积就有曼哈顿大小，而其计算部分的纸张面积还要大得多。这个结果虽令人印象深刻，但重要的是质量，而不是数量。这个“曼哈顿级的计算”在质量和数量两个方面都符合要求，因为它提供了在量子物理学中似乎很重要，在数学中也很重要的对称群（symmetry group）的有价值的基本信息。出色的数学研究可以只有一行，也可以是一本百科全书，取决于问题所需。

当我们想到数学时，浮现在脑海中的是密密麻麻的符号和公式，一页又一页，没完没了。然而，上面提到的200万页的研究内容，包含的文字多过符号。这些文字是用来解释问题的背景、论证的过程、计算的意义，以及它们在不断发展的数学大厦中的位置。正如伟大的高斯（Carl Friedrich Gauss）在1800年前后所说的那样，数学的本质是“概念，而不是符号”。或者说，是想法，而不是符号！即便如此，表达数学思想的常用语言仍然是符号化的。许多发表的研究论文，包含的符号确实比文字更多。公式表达的精确度是文字不可比拟的。

但是，在撇开大部分符号的情况下解释这些想法，通常也是可以做到的。这本《伟大的数学问题》就以此为指导原则。它试图阐明数学家做的是什么、他们是如何思考的、为什么这个学科是有趣且重要的。更为重要的是，它展示了如今的强大技术让过去的伟大谜团一一被攻克的情况下，今天的数学家如何应对前人提出的挑战，而这些技术也改变着未来的数学和科学。数学是人类最伟大的创造之一，它的重大问题，不管是已经解决的，还是尚未解决的，几千年来始终引领着方向并激发出惊人的力量，不仅在过去，也在未来。

2012年6月于考文垂