前言

记得小时候接触平面几何前，尽管数学成绩很好，但对数学的兴趣不及对天文地理生物等自然科学。我只听大人多次提起，几何很有意思，也很难，若是能解出就很开心，若是考试做不出来就完了。一开始学习时我有点不适应，倒不是因为对几何图形感到陌生，而是对证明感到陌生。大约折腾了几个月，我终于领会了证明的要领。1986年秋的一天，大概是第一次解决了一个自以为比较困难的问题，一时高兴，就不停地来来回回从一间房间走到另一间房间，尽管后来看了答案，其解法还要简洁，但这件事让我终生难忘。我也领会了数学的实质和精神，数学从此成为我最喜欢的学科，按照中学老师区志华的说法，是对数学入了门。

后来出于比较偶然的原因，我走上了数学奥林匹克竞赛的道路，也取得了不俗的成绩。在数论、不等式、组合等领域，同样看到了太多的精彩。但是，对于数学爱好者的我来说，没有一个领域可与平面几何相比，这不仅是因为当时的深刻印象，而且也是平面几何这门学科的特点所决定。跳起来摘苹果最有意思；那些随手就可摘的苹果，或者无论怎样跳都摘不到苹果的事儿，大家不太爱干。平面几何问题都是跳起来有望摘到的“苹果”；在数论特别是组合中，却往往使人束手无策，留下不少苦恼。当然，也有反过来的情形（有的人对组合感觉特好，看到几何就头大，总的来说，在所接触的奥数高手中，多数还是比较接近我的思维结构和感受）。由于后来结识了叶中豪（老封）老师，我认识到比之初等数论、组合，平面几何更看重的是观点的难度而不是技巧的难度。

结识几何专家叶中豪（老封）

1995年3月10日，我第一次结识了素有“中国平面几何第一人”之称、“上海十大藏书家”之一的叶中豪先生。

第一次听说他的名字，也有时间可查，就是我在书店里买到单墫教授的《解析几何的技巧》一书的那一天，约在20年前（我习惯将购书日期写在扉页）。当时随手就翻到两道从未见过的题，说是一个叫叶中豪先生的人提供的。凭着自己对几何的了解，我觉得此人身手不凡，当然大名鼎鼎的单教授提到的人一般都不会是等闲之辈。不过，既然单教授称他为“叶中豪先生”，就以为是年纪比较大的，而且这个名字确实具有古典风味，之所以一直闻所未闻，可能是比较低调的寂寞高手吧。

很久以后，我找到了这两道题的简洁的纯几何解法。在认识叶中豪老师之前，我比较自以为是，因为平面几何的难题几乎被我做尽（除了没见过的），而且我已感觉到平面几何是“完备”的，不可能有做不出的题，无非是需要花费时间（数论就不同）。耐人寻味的是，我与熊斌、冯志刚两位教练曾给北大出版社编写过一本《初中数学奥林匹克题典》（因故未出版）。平面几何主要由我负责，完成于1994年6月5日。这个年份有那么点意义，它是我认识叶老师之前的最后一年，也算得上是我“自以为是”的最后一年。

话说那天天气很好，我来到了中豪老师的办公室，看到的是一位有点发福的年轻人。我知道他是高手，但因为当时的目的是为了找工作（后并未成为其同事），心里有点急躁。他却饶有兴致地与我讨论起几何来，大约过了一两个小时，他提了个新发现的结果让我做，我回家以后就解决了。他很高兴，回信叫我称他为“叶兄”，而他称我为“田兄”（不过我后来还是主要习惯称其为“叶老师”）。

这题其实可算是曼海姆定理的推广，我发现这个推广的方法，与定理本身的一种做法几乎是一样的，当然甚为高妙。后来我还发现，这个结果也可以推出《解析几何的技巧》中那两题中的一题（已写入本书，但本书用的是其他证法），知道这一点的人就不多了。

接下去的15个春秋，我不断与他交流几何，一开始最频繁，最近几年大家都很忙，所以少了一些。我也见过不少与叶老师同级别的高手，他们多数放弃了数学；叶老师是极少数对数学念念不忘的人。只是他乃知者不言。不过宣传他，似乎是在奥数中未取得最佳战绩的我的职责，尽管这本书的主要目的还是整理好赛题，为自己和别人提供一点便利，做不到详尽地宣传叶老师的工作（以后或许有可能？）。中豪称得上是已故几何专家梁绍鸿的“传人”，梁所处时代更为孤独，中豪老师不孤独，不过还是有点曲高和寡。

叶老师因为在高中阶段数学竞赛中得到过第二名的骄人成绩，与这样的高手结识多年，我学到不少知识与技巧，功力大增，并感受到他对平面几何的高度热情和非凡的原创精神。我不仅意识到平面几何还有很多很多问题没做过，甚至未必做得出；更重要的是，在复旦大学数学系受过良好教育的他具备相当高的观点。这强化了我认为平面几何是一个好的数学分支的“观点”。因此，尽管有塔斯基（A. Tarski）的结论以及后来吴文俊的数学机械化，平面几何的魅力并未打上折扣；尽管我也认为，现代数学主流已不可能把关注瞥向平面几何哪怕是一点点，但是平面几何仍可以玩下去，乃至玩到观点的层次，而不仅仅是技巧而已；更何况它对于数学奥林匹克教育的价值。

对于“学而时习之，不亦说乎”“学而不思则罔，思而不学则殆”这样的格言，大家都耳熟能详，但真正实践的有几人？叶老师之所以显示出强大的研究能力而不狂妄自大，正是因为他善于学习很多我们不了解的牛人的工作（顺便一提，叶老师擅长使用几何画板，这使他发现几何新结果得以提速。不过我要指出，早在几何画板之前，他就已经做出很多夸张的结论了）；而且他乐于将自己辛苦得来的成果无偿与大家分享。多年来，他的这两个显著优点给我留下了特别深刻的印象。这样的做法其实是大大提高了自身的水平。很难想象，一个不善于学习而自恋的人、一个不愿意与高手交流的急功近利的人，能取得什么真正的成就。当然，在这两个优点的背后，体现的是他对几何真正的兴趣。小时候读了爱因斯坦的传记，我很赞赏人应该为兴趣而活，我也经常做几何，不过对平面几何还是不如叶老师“专情”。

在教学的过程中，由于现在的学生见多识广，所以不时需要创新，也就是自己命题。我发现命题的困难和解题的困难有相当大的差异。对平面几何来说，好的命题比找到巧妙的解题思路还要困难。叶老师就是一位相当有原创精神的命题专家，近十多年来，可以说几乎所有的中国数学奥林匹克（CMO）、国家集训队测试题都直接或间接从他那里产生，其中我贡献的那部分，多数也是通过对他的问题改编而成。由于叶老师具有良好的数学修养，他命题十分注意问题的背景，故而具有较高的观点。这都是难能可贵的。

在网络不甚普及的1990年代，叶老师通过书信与一些几何爱好者展开频繁交流，包括曹纲、郭军伟、黄利兵、王曦（后来还有唐传发等）等一起作研究的高手。相比之下，我还是重解题而少研究的，但也与他有过一二百封信件往来。记得当时叶老师在吉安路的老家，闹中取静，藏书极丰，是各路朋友会聚的宝地。朋友们和他走街串巷，吃顿火锅，逛旧书店，也很有感觉。最难忘的是，有一次叶老师带我参观他在家里开辟的一个隐蔽的“小天地”，四周环橱，大约不到两个平方。我看了连连叫好，他太太笑着说：“也只有你说好。”想象一下某天深夜他工作累了但颇有收获时打个哈欠、伸伸懒腰的情形，斗室虽小却胸怀宇宙真理。把老杜的诗改成“细推几何须行乐，何用浮名绊此身”来表达这种生活方式再合适不过了。我的意思绝不是不要物质生活，视金钱为粪土，只是认为所谓人生的完整，最重要一点就是精神也要富足。在精神上叶老师可谓极其富有。日积月累，他把大家探讨过的那些较有原创性的信件做了仔细整理，每年都要订上一大本。后来互联网普及了，就变成了网上的交流。各路高手多用网名，至今我不晓其真名，当然这已经不重要了。

叶老师特别看重志同道合的朋友。他不计好处、不遗余力地帮过很多朋友，比如青年几何学家曹纲，人极聪明，也取得了丰硕的成绩，但此人个性较强，不易与旁人合得来，叶老师还是为了他的工作问题而屡次推荐。叶老师在生活上也给予我莫大的帮助，却从来不求任何回报。在没有血缘关系的人中，其他任何一个人对我的帮助都不及叶老师的一半，这些都永存我心中。汶川大地震后他也慷慨解囊。

其实，叶老师绝不是一个普通的赚点上课费的老师，也不是一个为藏书而藏书的藏书家。几十年来，他一直有一个宏伟愿望，就是将数学文化发扬光大。一个人要是有很大的能量，并希望发出光芒，而不是去隐居；并且有益于社会，而不是有害，那么就完全可以适当地“不务正业”，毫无理由限制他一辈子做一个安分守己的小职员、小市民。

叶老师在几何方面的天赋，凡与之略有接触者没有一个不惊叹的，他被誉为“中国（平面）几何第一人”，当之无愧。他在圆型集、完美六边形、塔克图形、三相似图形等方面有大量精彩发现，其他结果也层出不穷。特别值得一提的是，叶老师曾在美国著名数学刊物上发表过原创性成果，世界著名数学家康韦（J. Conway）专门为之撰写评论，但他很少向人炫耀。至今认识的人中，我还未见到有叶老师这般兴趣广泛、思想深邃、个性复杂的，他藏书数万，以文学名著为主，数学书也很多。坦白地说，对于他的数学，我顶多是个追随者或了解者；而其他方面就更难理解了。不过我始终认为他是一个值得理解的人。值得理解与不值得理解是首要的，至于理解了还是没有理解倒在其次。我也曾一度考虑让叶老师成为本书的第一作者，因为里面引用了不少他的结果，但一想到叶老师对自己的高标准（他几乎不写书），最后还是作罢，让我成为“第二作者”注定是一种奢望。

平面几何的特点

平面几何是那种具有魔力的学问。下面谈一谈本人学习平面几何25年的心得。

记得在初中时读秦关根的《爱因斯坦》（我觉得这是国人写得最好的爱氏传记之一），这位出名而孤独的人在学生时代就喜爱独立思考、厌恶死记硬背，头一年连大学也没考进。和许多德国孩子一样，爱因斯坦从小被灌输了宗教，并一度虔诚，但一接触平面几何，便深感震撼。他后来回忆说，三角形的三条高交于一点并非直观命题，但可严格论证，以至于你丝毫的质疑也不可能。苏步青、陈省身、吴文俊、丘成桐这些蜚声中外的数学家从小都着迷平面几何，这对他们后来的事业应该也有影响力。我当时接触了平面几何后，也隐隐约约感觉到这是真正的数学和科学道路，从此对创造这门学问的古希腊文明充满崇敬。认识叶老师之后，我还感到搞几何需要极为丰富的想象力，更甚于诗歌创作。

在平面几何解题上，我想我还是有一点发言权的。解平面几何题的特色不同于奥数其他分支。用一句话概括： 它是基于某种完整性或对称性绕过硬算而完成，为了达到这个目标，我们常要添辅助线。这无疑是困难的，因为图形千变万化，解析几何克服了这个困难，代价是较多的计算量，当然平面几何中也有计算。其实计算也是有技巧的，比如直接算两条线段〖WTBX〗a=b可能很麻烦，后来发现引进第三条线段c，证明〖SX(〗a〖〗c〖SX)〗=〖SX（〗b〖〗c〖SX)〗就相当简便，原因在于c的计算虽然麻烦但我们不需要，而比值却很好算。所以将解析几何与平面几何的解题方法完全对立起来、将平面几何中的计算和纯几何推导对立起来的观点也是不正确的。〖WTBZ〗

其他奥数分支就很不一样。2008年和2010年IMO的第3题都与数论有关，这两个题都是条件极强，而解答却只用到了很弱的性质。这就是代数和组合数论等问题的特点。关键是极强的条件“诱惑”你陷入细节之中，而命题人就是要你走出细节，发现“本质”，这样就能很快解决问题。比如2010年IMO的第3题，从奥数角度来看，这无疑是非常精彩的问题，但对于研究来说却不是好的课题，因为研究需要正视细节，发现有价值的新概念新方法，而不是“绕”。

平面几何与初等数论等很不相同。主要原因有两点： 第一，它是一个完备的公理化体系，所以几乎不存在条件太强的情形，一般来说条件和结论刚好相配，这从若干条件与结论可以互换而编成一道新题就可以看出来，从同一法就可以看出来，而这种情形在数论和代数中是不可想象的。所以，从研究的角度来说，平面几何做得相当完善，只可惜它比较初等，已不可能代表当代数学的主流。所有的研究都是在不断改造条件和结论，尽量使它们刚够得上，最好是充要条件，但数论等奥数命题的目的往往相反，它就是要迷惑你，因此建立过强的条件，使你不容易看出它与结论的关系，但一旦揭穿，也就很简单。所以，有人批评奥数好的人为什么最终成不了大数学家，实在是很不理解这两者之间的显著区别。第二，尽管所有的奥数难题都可以说是寻找怎么“绕过细节”的手段，但由于平面几何已经完备，原则上所有难题都可用解析几何解决，解析几何不怎么需要“绕”，尽管把它理解为蛮算也是错误的，但总比平面几何要机械化一点。当然，现在的命题都有意做得很难使用解析方法，因此也必须学会“绕”，但平面几何带有研究性质，这不同于初等数论那种“连猜带蒙”，而是寻求最纠结的点、线位置的新的刻画，或者完全弱化这种刻画，或者发现成对的纠结的点、线之间的关系并不纠结（犹如负负得正），凡此种种绝不是“削弱”它的条件。总体来说，平面几何更像下明棋，而数论代数更像下暗棋。关于这一点，我想读者只要多做些有难度的题必能体会。

谈谈本书

全书的内容称得上丰富，参考了梁绍鸿的名著《初等数学复习及研究（平面几何）》，还有《中等数学》（特别是它的增刊，价值很大）。正文多数例题是我自己解的，习题解答则悉数精简。本书亦选用了不少叶老师的结果，主要是国家集训队测试题等。

在搜集、整理过程中确有一点乐趣和成就感，毕竟平面几何方面我比较强。不过坦白地说，写这样的书蛮辛苦的，按世俗的眼光叫“吃力不讨好”，但做几何感觉很踏实。柏拉图不是还在他的学院门口写上一行字——“凡不学几何者勿入此门”呢！（我小时候也在自己的小间门口用毛笔写这样的字，当然谁都可以入，我只是推崇几何，同学一看笑死了。）

关于奥数教育的争论

最后不得不谈谈今天中国的奥数教育。

有人批评中国的奥数教育，说是拿了100多块金牌，还未在国际数学前沿做出像模像样的成绩；而其他很多国家拿菲尔兹奖的数学才俊，往往曾是IMO奖牌的获得者，以此说明学习能力和创新能力很不一样。那是教育心理学的老话题，这里也没必要多谈。我认为，可能光有好的解题能力是不够的，还要看有没有好的命题能力，看看我们的教练或学生自己能不能出些更有水平的题目（最低层次是计算，其次是难度或技巧，最高层次是观点）。这一点，俄罗斯和一些东欧国家明显比我们强，他们的原创精神令人慨叹。中国大概因为有叶中豪先生的存在，在平面几何这一块不亚于国际水平，但其他领域就要稍逊一点，尤其是组合数学（所以中国学生到国际上比赛，代数和几何实力很强，而组合数学的成绩就比较差）。也许只有我们的命题水平大幅提高了（主要指观点方面而不是难度），然后才可指望创新，特别是到现代数学里创造出新的概念和联系（初等数学已很难有大的创新），达到真正研究的层次，中国才能成为真正的数学强国，到那个时候，菲尔兹奖大概也就不远了。

写到此处，就以一首拙作《水调歌头·赞几何人生》结束吧，我无力把它写得出色，但求表达心意： 

海上名城夜，宝马聚香车。无论新贵旧友，挥金争豪奢。不绝笑声绕梁，常添美酒盈樽，今宵须尽兴。宴终人散后，多少醉归客。世间乐，莫过此，长嗟叹，人生几何，纸上岁月亦如歌。点线巧妙配圆，皆叹造化奇特。恍然悟真意。天地有大美，知者来唱和。



田廷彦

2010年10月

第一版序

读书，是天下第一件好事。

书，是老师。他循循善诱，传授许多新鲜知识，使你的眼界与思路大开。

书，是朋友。他与你切磋琢磨，研讨问题，交流心得，使你的见识与能力大增。

书的作用太大了！

这里举一个例子：常庚哲先生的《抽屉原则及其他》（上海教育出版社，1980年）问世后，很快地，连小学生都知道了什么是抽屉原则。而在此以前，几乎无人知道这一名词。

读书，当然要读好书。

常常有人问我：哪些奥数书好？希望我能推荐几本。

我看过的书不多。最熟悉的是上海的出版社出过的几十本小册子。可惜现在已经成为珍本， 很难见到。〖JP2〗幸而上海科技教育出版社即将推出一套〖JP〗“数学奥林匹克命题人讲座”丛书，帮我回答了这个问题。

这套丛书的作者与书名初定如下：

黄利兵 陆洪文《解析几何》

王伟叶 熊斌《函数迭代与函数方程》

陈计 季潮丞《代数不等式》

田廷彦《圆》

冯志刚《初等数论》

单墫《集合与对应》 《数列与数学归纳法》

刘培杰 张永芹《组合问题》

任韩《图论》

田廷彦《组合几何》

唐立华《向量与立体几何》

杨德胜《三角函数·复数》

显然，作者队伍非常之强。老辈如陆洪文先生是博士生导师，不仅在代数数论等领域的研究上取得了卓越的成绩，而且十分关心数学竞赛。中年如陈计先生于不等式，是国内公认的首屈一指的专家。其他各位也都是当下国内数学奥林匹克的领军人物。如熊斌、冯志刚是2008年〖WTBZ〗IMO中国国家队的正副领队、中国数学奥林匹克委员会委员。他们为我国数学奥林匹克做出了重大的贡献，培养了很多的人才。2008年9月14日，“国际数学奥林匹克研究中心”在华东师范大学挂牌成立，担任这个研究中心主任的正是多届〖WTBZ〗IMO中国国家队领队、华东师范大学数学系教授熊斌。

这些作者有一个共同的特点：他们都为数学竞赛命过题。

命题人写书，富于原创性。有许多新的构想、新的问题、新的解法、新的探讨。新，是这套丛书的一大亮点。读者一定会从这套丛书中学到很多新的知识，产生很多新的想法。

新，会不会造成深、难呢？

这套书当然会有一定的深度，一定的难度。但作者是命题人，充分了解问题的背景（如刘培杰先生就曾专门研究过一些问题的背景），写来能够深入浅出，“百炼钢化为绕指柔”。另一方面，倘若一本书十分浮浅，一点难度没有，那也就失去了阅读的价值。

读书，难免遇到困难。遇到困难，不能放弃。要顶得住，坚持下去，锲而不舍。这样，你不但读懂了一本好书，而且也学会了读书，享受到读书的乐趣。

书的作者，当然要努力将书写好。但任何事情都难以做到完美无缺。经典著作尚且偶有疏漏，富于原创的书更难免有考虑不足的地方。从某种意义上说，这种不足毋宁说是一种优点：它给读者留下了思考、想象、驰骋的空间。

如果你在阅读中，能够想到一些新的问题或新的解法，能够发现书中的不足或改进书中的结果，那就是古人所说的“读书得间”，值得祝贺！

我们欢迎各位读者对这套丛书提出建议与批评。

感谢上海科技教育出版社，特别是编辑卢源先生，策划组织编写了这套书。卢编辑认真把关，使书中的错误减至最少，又在书中设置了一些栏目，使这套书增色很多。

单 墫

2008年10月

升级版序

数学竞赛活动的开展，其目的是激发青少年学习数学的兴趣，发现和培养具有数学天赋的学生，因材施教。数学竞赛是中小学生的课外活动，也是一种特殊的素质教育——思维训练。

数学竞赛，可以让学生养成独立思考问题的习惯、建立对数学知识的看法及求知能力、初步具有创新意识。一个人对某个专业领域的兴趣与创新意识应该从青少年时代就开始培养。

在近20年的菲尔兹奖（Fields Medal）获得者中，有一半以上是IMO的优胜者。

我国的数学竞赛选手中已经涌现出许多优秀的青年数学人才，如获得著名的拉马努金奖（Ramanujan Prize）的张伟、恽之玮、许晨阳、刘一峰等，并且有不少学者在国内外知名高校或科研机构从事数学研究工作，如：朱歆文、刘若川、何宏宇、何斯迈、袁新意、肖梁、张瑞祥等。2008年、2009年IMO的满分金牌获得者韦东奕，在研究生一二年级时就做出了很好的成果。无论从整体还是从个别、从国外还是从国内来看，数学竞赛对数学与科学英才的教育都有非常重要的价值。

“数学奥林匹克命题人讲座”丛书自2009年起陆续出版，受到了广大数学竞赛爱好者以及数学竞赛教练员的欢迎和好评。

近十年来，在各级各类数学竞赛中又有不少好题与精妙的解法，为了与广大数学爱好者分享这些妙题与巧解，在第一版的基础上，我们组织了第一版的原作者和一些新作者编写了“数学奥林匹克命题人讲座（升级版）”。

“数学奥林匹克命题人讲座（升级版）”包括《集合与对应》（单墫）、《数列与数学归纳法》（单墫）、《函数迭代与函数方程》（王伟叶、熊斌）、《初等数论》（冯志刚）、《组合问题》（刘培杰、张永芹、杜莹雪）、《平面几何（圆）》（田廷彦）、《组合几何》（田廷彦）、《三角函数与复数》（杨德胜）、《向量与立体几何》（唐立华）、《图论》（任韩）、《不等式的证明》（熊斌、罗振华）、《平面几何（直线型）》（金磊）。其中《不等式的证明》和《平面几何（直线型）》为新增加的两本。

本丛书中既有传统的具有典型性的数学问题，也有选自近年高校自主招生、全国高中数学联赛、中国数学奥林匹克、中国西部数学邀请赛、中国女子数学奥林匹克、国际数学奥林匹克以及国外数学竞赛中的好题，还有一些是作者自编的问题。

感谢上海科技教育出版社和本丛书责任编辑卢源先生的精心策划与组织。

感谢各位读者自第一版出版以来提出了不少好的建议，希望大家继续对升级版提出建议和批评，使本丛书不断完善。

熊 斌

2021年1月